CHUYÊN ĐỀ PT BẬC HAI -HỆ THỨC VIÉT

CHUYÊN   ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI+HỆ THỨC VI-ÉT

A- TÓM TẮT LÍ THUYẾT:

I-Cách giải phương trình bậc hai: ax²  + bx + c  = 0 ( a  0)              = b² - 4ac

           

Chú ý : Trong trường hợp hệ số b là số chẵn thì giải phương trình trên bằng công thức nghiêm thu gọn.

                                                           ' = b'² - ac

            (Xem SGK toán 9 tập 2)

III- Hệ thức Vi - Et và ứng dụng :

1. Nếu x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình  thì :   

2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình :

(Điều kiện để có u và v là )

3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình  có hai nghiệm :

    Nếu a - b + c = 0 thì phương trình  có hai nghiệm :

IV: Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước:

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax²+bx+c = 0 (a ¹ 0) có:

   1. Có nghiệm (có hai nghiệm) Û D ³ 0

   2. Vô nghiệm Û D < 0

   3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) Û D = 0

   4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) Û D > 0

   5. Hai nghiệm cùng dấu Û D³ 0 và P > 0

   6. Hai nghiệm trái dấu Û D > 0 và P < 0 Û a.c < 0

   7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) Û D³ 0; S > 0 và P > 0

   8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) Û D³ 0; S < 0 và P > 0

   9. Hai nghiệm đối nhau Û D³ 0 và S = 0

   10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau Û D³ 0 và P = 1

   11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn    Û a.c < 0 và S < 0

   12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn    Û a.c < 0 và S > 0

Tính giá trị các biểu thức nghiệm

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức

• 
• 
• 
• 
• 
•             ( =…….)
•             ( =  =……. )
•             ( =  =…… )
•             ( = = ……..)

2. Các bài toán về phương trình bậc hai chứa tham số

Bài toán 1: Tìm điểu kiện của m để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm, có 2 nghiệm phân biệt.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c ( hoặc a, b, c, b') (nếu chưa thành thạo).

Bước 2: Tính  hoặc

Bước 3. Kiểm tra các điều kiện

+ Nếu <0 ( hoặc <0) thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu =0 ( hoặc = 0) thì phương trình có nghiệm kép

+ Nếu >0 ( hoặc > 0) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

+ Nếu  ( hoặc ) thì phương trình có nghiệm.

+ Lưu ý:

- Trong một số bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm mà hệ số a chứa tham số ta phải xét trường hợp a = 0. Sau đó xét trường hợp  và làm như các bước ở trên.

- Trong một số bài toán tìm điểu kiện của m để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm, có 2 nghiệm phân biệt ma hệ số a chứa tham số ta phải tìm điều kiện để phương trình đó là phương trình bậc hai ( )

Ví dụ 1: Cho phương trình (m-1)x² + 2.(m+2)x+m = 0 (1).

a, Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

b, TÌm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Giải

a,

+ Khi m-1 = 0 hay m =1, phương trình (1) trở thành: 6x + 1 = 0.

Đó là phương trình bậc nhất và có nghiệm .

+ Khi  hay . Ta có

Để phương trình có nghiệm thì , tức là:

Kết hợp 2 trường hợp ta được khi  thì phương trình 1 có nghiệm.

b, Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì , tức là:

Vậy với  và  thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Bài tập áp dụng

Bài 1: Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có nghiệm

a, x² - x - 2m = 0                                             b, 5x² + 3x + m-1 = 0

c, mx² - x - 5 =0                                              d, (m² + 1)x² - 2(m+3)x + 1 = 0

Bài 2: Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt

a, 3x² - 2x + m =0                                           b, x² + 2(m-1)x - 2m+5 = 0

Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình vô nghiệm

a, ( m-1)x² + 2x + 11 = 0                                 b, x² + (m-1)x+m-2=0

Bài toán 2: Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm, 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính  hoặc

Bước 2:

+ Chứng minh  thì phương trình luôn có nghiệm với

+ Chứng minh  thì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với .

( Chú ý sử dụng hằng đẳng thức ta tách các biểu thức thành bình phương của một biểu thức cộng với một số thực dương; Các biểu thức sau luôn không âm: ; A², ...)

Lưu ý: Ta có thể chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt với  bằng cách chứng minh a.c < 0 ( a, c trái dấu).

Ví dụ 1: Cho phương trình x² - (m+1)x +m =0 (1) ( x là ẩn số, m là tham số)

Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m

Giải

Ta có

Nhận thấy

Suy ra, phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.

Ví dụ 2: Cho phương trình x² - 2.(m-1)x + m-3 = 0 (1) ( x là ẩn số, m là tham số)

Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Giải

+ Ta có

Ta có m² - 3m+ 4 =

Suy ra

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Bài tập áp dụng

Bài 1: Chứng minh phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm hoặc có 2 nghiệm phân biệt.

a, x² - 2.( m+1)x + 2m+1 = 0              b, x² - 3x + 1-m² = 0

c, x² + ( m+3)x + m+1 = 0

Bài toán 3: Xác định m để phương trình có 1 nghiệm bằng  cho trước. Với m vừa tìm được hãy tìm nghiệm còn lại

Phương pháp giải:

Bước 1: Thay  vào phương trình bậc 2, sau đó giải phương trình ẩn m để tìm ra giá trị của m.

Bước 2: Thay giá trị m vừa tìm được vào phương trình, sau đó dùng hệ thức viet để tính nghiệm còn lại bằng cách x₂ = S-x₁ (S: là tổng 2 nghiệm của phương trình).

Ví dụ: Cho phương trình: x² - 2.(m-1)x+2m-3 = 0 (1)

Xác định m để phương trình có 1 nghiệm bằng -1 và khi đó hãy xác định nghiệm còn lại của phương trình.

Giải:

+ Thay x = -1 vào phương trình (1), ta có

(-1)² - 2.(m-1).(1) + 2m-3 = 0

+ Thay m = 1 vào phương trình  (1) ta được phương trình:

x² - 1 = 0

Vậy với m=1 thì phương trình có 1 nghiệm là x = -1 và nghiệm còn lại là x = 1.

Bài tập áp dụng

Bài 1: Tìm m để các phương trình sau có một nghiệm số cho trước (...). Tìm nghiệm còn lại.

a, x² - (m+2)x + m+1 =0 ( x=1)

b, x² + 2x + m² - 2m =0 ( x=-3)

c, mx² + 2x + 1-m = 0 ( x=2)

Bài toán 4:  Tìm điều kiện của m để phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x₁, x₂ thoả mãn điều kiện: mx₁ + nx₂ = p (1). (m, n, p là các số cho trước).

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ (  hoặc ) (*)

Bước 2: Lập hệ thức vi-et về tổng, tích 2 nghiệm của phương trình

Bước 3: Giải hệ phương trình sau để tìm ra x₁, x₂

Bước 4: Thay x₁, x₂ vào (3) --> m cần tìm.

Bước 5: Đối chiếu giá trị m vừa tìm được với điều kiện  ở bước 1 --> kết luận.

Lưu ý: Cũng có thể kết hợp (1) với (3) để có hệ phương trình như ở bước 3. Tìm được x₁, x₂ rồi thì tiếp tục làm bước 4 và bước 5.

Ví dụ: Cho phương trình x² - 8x + m = 0. Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm thoả mãn x₁- x₂ = 2 (1).

Giải:

Ta có: .

Để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ thì , tức là: (*).

Theo hệ thức vi-et ta có: x₁ + x₂ = 8 (2); x₁.x₂ = m (3).

Kết hợp (1) với (2) ta có hệ phương trình

Thay x₁ = 5, x₂ = 3 vào (3) ta có: m=5.3=15 (thoả mãn đk *)

Vậy với m = 15 thì phương trình trên có 2 nghiệm x₁,x₂ thoả mãn x₁-x₂=2.

Lưu ý: Các bài toán tìm m để phương trình bậc 2 ( chứa tham số m) có 2 nghiệm đối nhau ( x₁ = -x₂), có nghiệm này bằng k lần nghiệm kia ( x₁ = kx₂), có nghiệm này lớn hơn nghiệm kia k đơn vị ( x₁ = x₂ + k hay x₁-x₂ =k),...ta có thể quy về bài toán 4.

Bài toán 5: Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm thoả mãn một biểu thức về x₁, x₂ ( sử dụng hệ thức vi-et)
Phương pháp giải

Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm x₁, x₂ (  hoặc ) (*).

Bước 2: Lập hệ thức vi-et về tổng, tích 2 nghiệm của phương trình

Bước 3: Biến đổi các biểu thức ở đầu bài về dạng tổng 2 nghiệm, tích 2 nghiệm, sau đó thay kết quả ở bước 2 vào biểu thức rồi giải phương trình ẩn m thu được.

Các biểu thức thường gặp:

a,

b,

c,

d,

Bước 4: Đối chiếu kết quả vừa tìm được ở bước 3 với điều kiện ở bước 1--> kết luận.

Lưu ý: Các biểu thức khác chúng ta cũng làm tương tự, sử dụng phương pháp hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung, quy đồng phân thức, ... để đưa về dạng tổng, tích các nghiệm.

Ví dụ: Cho phương trình x² - 4x + m-1 = 0 (1). Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ thoả mãn: x₁² + x₂² = 12.

Giải:

Ta có

Để phương trình (1) có 2 nghiệm x₁, x₂ thì , tức là:  (*)

Theo hệ thức vi-et ta có:

Ta có:

Nhận thấy m = 3 thoả mãn điều kiện (*).

Vậy với m = 3 thì phương trình (1) có 2 nghiệm x₁, x₂ thoả mãn: x₁² + x₂² = 12.

Bài toán 6: Lập phương trình bậc hai khi biết 2 nghiệm x₁, x₂

Trường hợp 1: 2 nghiệm x_, x₂ là 2 số cụ thể:

Bước 1: Tính tổng S = x₁ + x₂, tích P = x₁x₂.

Bước 2: Lập phương trình: x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² - Sx + P = 0

Trường hợp 2: x₁, x₂ là nghiệm của phương trình ban đầu. Lập phương trình có nghiệm là biểu thức chứa x₁, x₂

Phương pháp giải:

Bước 1: Lập tổng (S) 2 biểu thức chứa x₁, x₂; tích (P) 2 biểu thức chứa x₁, x₂ ( biến đổi như bài toán 5)

Bước 2: Lập hệ thức vi-et cho phương trình ban đầu.

Bước 3: Lập phương trình x² - Sx + P = 0. Đây là phương trình cần tìm

Ví dụ:

a, Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó là: x₁ = 7, x₂ = 10

b, Cho x₁, x₂ phương trình x² - 2(m-1)x-1=0 (1). Hãy lập phương trình có 2 nghiệm  và

Giải:

a, Ta có: S = x₁ + x₂ = 7+10 =17

P = x₁x₂ = 7.10 =70

--> x₁, x₂ là nghiệm của phương trình x² - 17x +70 =0

b, Nhận thấy a = 1, c = -1  --> a.c = -1 < 0 --> phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo hệ thức vi-et ta có:

Ta có:

 

Phương trình cần lập là: x² - 2.(2m² - 4m + 3)x + 1 = 0

Bài tập áp dụng ( Các bài toán trên yêu cầu chung là không giải phương trình)

Bài 1: Lập các phương trình có 2 nghiệm

a, x₁ = 7, x₂ = 10;                                            b, x₁ = -3, x₂ = 8

c,                              d,

Bài 2: Cho phương trình -3x² + 8x - 2 = 0. Lập phương trình có 2 nghiệm mà mỗi nghiệm gấp đôi mỗi nghiệm của phương trình đã cho.

Bài 3: Cho x₁, x₂ là nghiệm của  phương trình x² - 12x + 11 = 0. Lập phương trình có 2 nghiệm

Bài 4: Cho phương trình x² + 2004²⁰⁰³x + 1 = 0 có 2 nghiệm x_1, x₂. Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm là: y₁ = x₁² + 1, y₂ = x₂² + 1.

Bài 5: Cho phương trình x² - 6x + 4 =0. Lập phương trình có 2 nghiệm bằng bình phương mỗi nghiệm của phương trình đã cho

Bài toán 7: Tìm m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm x₁, x₂. Sau đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức qua x₁, x₂.

Phương pháp giải

Bước 1:  Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm x₁, x₂ (  hoặc ) (*).

Bước 2:  Lập hệ thức vi-et

Bước 3:  Biến đổi biểu thức về dạng tổng và tích 2 nghiệm để có thể áp dụng hệ thức vi-et --> ta thu được biểu thức bậc 2 của m.

Các biểu thức thường gặp

a,

b,

c,

d,

Bước 4:  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

+ Nếu hệ số a của biểu thức m >0 ta có giá trị nhỏ nhất. Để tìm giá trị nhỏ nhất ta biến đổi biểu thức chứa m về dạng A² + a , khi đó giá trị nhỏ nhất là a ( phải chỉ rõ đạt được tại giá trị của m bằng bao nhiêu --> so với điều kiện ở bước 1 rồi kết luận).

+ Nếu hệ số a của biểu thức m < 0 ta có giá trị lớn nhất. Để tìm giá trị lớn nhất ta biến đổi biểu thức chứa m về dạng a - A²  , khi đó giá trị lớn nhất là a (phải chỉ rõ đạt được tại giá trị của m bằng bao nhiêu --> so với điều kiện ở bước 1 rồi kết luận).

Ví dụ: Cho phương trình x² - (m+1)x+m=0 (1)

Gọi x­₁, x₂ là 2 nghiệm của phương trình (1).

Tìm giá trị của m để A = x₁²x₂ + x₁x₂² + 2007 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Giải:

+ Ta có:

phương trình luôn có nghiệm với

+ Theo hệ thức vi-et ta có: ;

+ Ta có A = x₁x₂.(x₁ + x₂) + 2007 = m.(m+1)+2007 = m² + m + 2007

= m² + 2.m.+=

Dấu " = " xảy ra

Vậy với m =  thì biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất là

Ví dụ: Cho phương trình x² + 2mx + 2m-1 = 0 (1) có 2 nghiệm x₁, x₂

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x₁²x₂ + x₁x₂²

Giải:

+ Ta có

, phương trình luôn có nghiệm

+ Theo hệ thức vi-et ta có: x₁ + x₂ = -2m; x₁x₂ = 2m-1

+ Ta có: A = x₁x₂.(x₁ + x₂) =-2m.(2m-1)= -4m² + 2m

= - ( 4m² - 2m) = - [ (2m)² - 2. 2m.+ ] = - [(2m-)² - ]

= - (2m-)²

Dấu "=" xảy ra

KL:Vậy với m =  thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là

Bài tập áp dụng

Bài 1:  Cho phương trình x² - 2mx + m-1 = 0 có 2 nghiệm x₁, x₂

Tìm giá trị của m để A = x₁² + x₂² + 1945 đạt GTNN. TÌm giá trị đó.

Bài 2: Cho phương trình

a, x² - 2mx + m² + m - 1 = 0 có 2 nghiệm x₁, x₂

b, x² - 2.(m+1)x + m² - 6m +5 = 0 có 2 nghiệm x₁, x₂

Tìm giá trị của m để tích 2 nghiệm của phương trình đạt GTNN

Bài 3: Cho phương trình x² - (a-1)x - a² + a - 2 =0

a, Tìm a để tích 2 nghiệm của phương trình đạt GTLN

b, Tìm a để A = x₁² + x₂² + 2010 đạt GTNN

Bài toán 8: Cho x₁, x₂ là 2 nghiệm của phương trình bậc 2.  Tìm hệ thức liên hệ x₁, x₂ độc lập với m ( không phụ thuôc vào m).

Phương pháp giải:

Bước 1:  Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm x₁, x₂ (  hoặc ) (*).

Bước 2: Lập hệ thức vi-et

Bước 3: Rút m từ (1) thế vào (2) ( hoặc ngược lại) ta sẽ được hệ thức liên hệ.

( Lưu ý: Trong một số bài ta có thể cộng hoặc trừ 1 cho 2 --> ta thu được hệ thức cần tìm. Tuỳ bài toán vận dụng một cách linh hoạt để tìm được kết quả nhanh nhất).

Ví dụ: Cho phương trình x² + 2mx + 2m - 1 = 0

Tìm hệ thức liên hệ giữa x₁, x₂ độc lập với m

Giải:

+ Ta có:

--> Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

+ Theo vi-et ta có: x₁ + x₂ = -2m (1); x₁x₂ = 2m-1 (2)

Từ (1) --> . Thế vào (2), ta được: x₁x₂ = 2. -1

Vậy hệ thức cần tìm là:

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho phương trình: x² - ( 2m - 3)x + m² - 3m = 0 (1)

a, Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x₂ độc lập với m.

Bài 2: Cho phương trình: x² + ( 2m - 1)x + m- 1 = 0 (1)

a, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ thoả mãn 3x₁ - 4x₂ = 11.

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa x₁, x₂ độc lập với m.

Bài toán 9: TÌm m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm thoả mãn:

x₁ < < x₂ (  là số cho trước).

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có 2 nghiệm x₁, x₂ (  hoặc ) (*).

Bước 2: : Lập hệ thức vi-et

Bước 3: Từ giải thiết x₁ < < x₂

 (3)

Bước 4: Thay (1), (2) vào (3) ta được bất phương trình ẩn m

Bước 5: Giải bất phương trình ẩn m vừa tìm được --> đối chiếu kết quả với điều kiện ở bước 1 ---> Kết luận.

Ví dụ: Cho phương trình x² - 2(m-1)x+2m-5 = 0 (1)

a, Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b, Tìm giá trị của m để pt có 2 nghiệm x₁, x₂ thoả mãn x₁ < 1 < x₂.

Giải:

a, HS tự chứng minh.

b, Theo hệ thức vi-et ta có:

Từ giải thiết x₁ < < x₂

 (3)

Thay (1), (2) vào (3) ta có:

2m - 5 - (2m-2)+1 < 0 --> 0m - 2 < 0 ( đúng với mọi m)

Vậy với mọi m thì phương trình trên có 2 nghiệm x­₁, x₂ thoả mãn x₁ < 1 < x₂.

Bài toán 10. Cho phương trình bậc hai ax² + bx +c =0 có chứa tham số m.

a, Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.

b, Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu

c, Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm dương

d, Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm âm.

Phương pháp giải:

* Sử dụng các điều kiện dưới đây để hoàn thành bài toán

a, Phương trình có 2 nhiệm trái dấu

b, Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu

c, Phương trình có 2 nghiệm dương

d, Phương trình có 2 nghiệm âm

(Trong đó: S là tổng 2 nghiệm, P là tích 2 nghiệm của phương trình

ax² + bx +c =0)

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho phương trình x²+ 3x - 2m+1 = 0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu.

Giải

Để phương trình trên có 2 nghiệm cùng dấu thì , tức là:

Vậy với thì phương trình trên có 2 nghiệm cùng dấu.

Bài toán 11 : Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có nghiệm chung.

Tổng quát:

Giả sử x₀ là nghiệm chung của hai phương trình. Thay x = x₀ vào 2 phương trình ta được hệ với ẩn là các tham số.

Giải hệ tìm tham số m.

Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay không?

Bài 1. Cho hai phương trình:  và

Xác định m để hai phương trình trên có nghiệm chung. ( Đáp số: m = - 2, nghiệm chung là x = 1 )

Giải: Giả sử x_{0 là} nghiệm chung của 2 phương trình ta có

Bài 2. Xác định m để 2 phương trình sau có nghiệm chung.

 và  ( Đáp số: m = - 3 nghiệm chung là x = 1)

B- BÀI TẬP

I-CÁC BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI

Bài 1. Giải các phương trình sau :

Giải

Bài 2:. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

a) Cho phương trình :  Không giải phương trình, hãy tính

   1.         2.                    3.                    4.                  

b) Cho phương trình :  Không giải phương trình, hãy tính:   1.      ,      2.

c) Cho phương trình :  Không giải phương trình, hãy tính:   1.             2.   

d) Cho phương trình :  Không giải phương trình, hãy tính:

   1.         2.                      3.                                             4.            

e) Cho phương trình  có 2 nghiệm x₁ ; x₂ , không giải phương trình, tính

-------------------------------------------------------------------

Bài 3:  Cho phương trình  (x là ẩn số)

a)      Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b)     Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình.

Tìm m để biểu thức M =  đạt giá trị nhỏ nhất

HD

a/ Phương trình (1) có ∆’ = m² - 4m +8 = (m - 2)² +4 > 0 với mọi m nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b/ Do đó, theo Viet, với mọi m, ta có: S = ; P =

 M = =

. Khi m = 1 ta có nhỏ nhất

 lớn nhất khi m = 1 nhỏ nhất khi m = 1

Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất là  - 2 khi m = 1

x

2

1

0

Bài 2: (2,0 điểm)

            Cho phương trình x² – 2x – 3m² = 0, với m là tham số.

1)      Giải phương trình khi m = 1.

2)      Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ khác 0 và thỏa điều kiện .

HDBài 2:       

1)         Khi m = 1, phương trình thành : x² – 2x – 3 = 0 Û x = -1 hay x = 3 (có dạng a–b + c = 0)

2)         Với x₁, x₂ ¹ 0, ta có :  Û  Û 3(x₁ + x₂)(x₁ – x₂) = 8x₁x₂

            Ta có : a.c = -3m² £ 0 nên D ³ 0, "m

            Khi D ³ 0 ta có : x₁ + x₂ =  và x₁.x₂ =  £ 0

            Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm ¹ 0 mà m ¹ 0 Þ D > 0 và x₁.x₂ < 0 Þ x₁ < x₂

            Với a = 1 Þ x₁ =  và x₂ = Þ x₁ – x₂ =

            Do đó, ycbt Û  và m ¹ 0

Û (hiển nhiên m = 0 không là nghiệm)

Û 4m⁴ – 3m² – 1 = 0 Û m² = 1 hay m² = -1/4 (loại) Û  m = ±1

Bài 3. (1,5 đ)

Cho phương trình: x² – 2(m+2)x + m² + 4m +3 = 0.

1)      Chứng minh rằng : Phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi giá trị của m.

2)      Tìm giá trị của m để biểu thức A =  đạt giá trị nhỏ nhất.

HDbài 3. (1,5 đ)

Cho phương trình: x² – 2(m+2)x + m² + 4m +3 = 0.

1)      Chứng minh rằng : Phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi giá trị của m.

Ta có > 0 với mọi m.

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi giá trị của m.

2)      phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ với mọi giá trị của m. Theo hệ thức Vi-ét ta có :

A =  = (x₁ + x₂)² – 2 x₁x₂  = 4(m + 2)² – 2(m² + 4m +3) = 2m² + 8m+ 10

                                                                                                      = 2(m² + 4m) + 10

                                                                                                      = 2(m + 2)² + 2 ≥ 2 với mọi m.

Suy ra  minA  = 2  m + 2 = 0 m = - 2

Vậy với m = - 2 thì A đạt min = 2

Bài 4) Cho phương trình: x² – (4m – 1)x + 3m² – 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện :

Giải Bài 4:       + Phương trình đã cho có D = (4m – 1)² – 12m² + 8m = 4m² + 1 > 0,  "m

                        Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt "m

       + Theo ĐL Vi –ét, ta có: .

Khi đó:

            Û (4m – 1)² – 2(3m² – 2m) = 7 Û 10m² – 4m – 6 = 0 Û 5m² – 2m – 3 = 0

                        Ta thấy tổng các hệ số: a + b + c = 0  =>  m = 1 hay m = .

            Trả lời: Vậy....

Câu 5 (2.0 điểm) : Cho ph­ương trình : x² + 2mx + m² – 2m + 4 = 0

1. Giải ph­ơng trình khi m = 4

2. Tìm m để phư­ơng trình có hai nghiệm phân biệt

Giải

1. Khi m = 4, ta có ph­ương trình

x² + 8x + 12 = 0 có D’ = 16 – 12 = 4 > 0

Vậy phư­ơng trình có hai nghiệm phân biệt

x₁ = - 4 + 2 = - 2 và x₂ = - 4 - 2 = - 6

2. Tìm m để ph­ương trình có hai nghiệm phân biệt

x² + 2mx + m² – 2m + 4 = 0

Có D’ = m² – (m² – 2m + 4) = 2m – 4

Để ph­ương trình có hai nghiệm phân biệt thì D’ > 0

=> 2m – 4 > 0 => 2(m – 2) > 0 => m – 2 > 0 => m > 2

Vậy với m > 2 thì ph­ương trình có hai nghiệm phân biệt

Câu 6: (1,5 điểm)

            Cho phương trình (ẩn số x): .

1. Chứng minh phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

2. Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm  thỏa .

Giải câu 6: (1,5 điểm)

            Cho phương trình (ẩn số x):.

1.

Vậy (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

2. Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm  thỏa .

Theo hệ thức VI-ET có :x₁.x₂ = - m² + 3  ;x₁+ x₂ = 4; mà  => x₁ = - 1 ; x₂ = 5

  Thay  x₁ = - 1 ; x₂ = 5 vào x₁.x₂ = - m² + 3  => m =

C©u 7: 2 ®iÓm:Cho ph­¬ng tr×nh: x² – 2(m-1)x + m² – 6 =0 ( m lµ tham sè).

a)      Gi¶I ph­¬ng tr×nh khi m = 3

b)      T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x₁, x₂ tháa m·n

Giải Câu 7: (2,0 điểm)

a, Thay x = 3 vào phương trình x² - 2(m - 1)x + m² - 6 = 0 và giải phương trình:

x² - 4x + 3 = 0 bằng nhiều cách và tìm được nghiệm x₁ = 1, x₂ = 3.

b, Theo hệ thức Viét, gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình

 x² - 2(m - 1)x + m² - 6 = 0 , ta có:

và x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁.x₂ = 16

Thay vào giải và tìm được m = 0, m = -4

Câu 8:(1,5 điểm)

            Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình .Không giải phương trình, tính giá trị các biểu thức sau:

a, x₁ + x₂                                  b,                                c,

Câu 9 (2đ)

Cho phương trình x² – 2(m – 3)x – 1 = 0

a)      Giải phương trình khi m = 1

b)      Tìm m để phương trình có nghiệm x₁ ; x₂ mà biểu thức 

A = x₁² – x₁x₂ + x₂²  đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Giải câu 9 (2đ) Cho phương trình x² – 2(m – 3)x – 1 = 0

c)      Giải phương trình khi m = 1

d)     Tìm m để phương trình có nghiệm x₁ ; x₂ mà biểu thức 

A = x₁² – x₁x₂ + x₂²  đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Đáp án a) x₁ =  ; x₂ =

e)      Thấy hệ số của pt : a = 1 ; c = A – 1  pt luôn có 2 nghiệm

Theo vi- ét ta có  x₁ + x₂ =2(m – 3)  ; x₁x₂ = –1

Mà A=x₁² – x₁x₂ + x₂²  = (x₁ + x₂ )² – 3x₁x₂  = 4(m – 3)² + 3  3

 GTNN của A = 3  m = 3

Câu I0: (1,5 điểm)

1. Giải phương trình x ² – 7x – 8 = 0

2. Cho phương trình x² – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn điều kiện

Giải Câu I0: (1,5 điểm)

1. Giải phương trình x ² – 7x – 8 = 0 có a – b + c = 1 + 7 – 8 = 0 suy ra x₁= -1 và x₂= 8

2. Cho phương trình x² – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn điều kiện .

Để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thì ’  0 ó 1 – m + 3   0 ó m  4

Theo viet ta có: x₁+ x₂ =2 (1) và x₁. x₂ = m – 3 (2)

Theo đầu bài:  = 6  (3)

Thế (1) và (2) vào (3) ta có: (m - 3)(2)² – 2(m-3)=6 ó 2m =12 ó m = 6 Không thỏa mãn điều kiện m  4 vậy không có giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn điều kiện .

Câu 11. (1,5 điểm)

            Cho phương trình , với x là ẩn số,

            a. Giải phương trình đã cho khi m = – 2

            b. Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt  và . Tìm hệ thức liên hệ giữa  và  mà không phụ thuộc vào m.

Giải Câu 11. Cho pt , với x là ẩn số,

a.         Giải phương trình đã cho khi m = – 2

            Ta có phương trình

           

           

Vậy phương trinh có hai nghiệm  và

b.         Theo Vi-et, ta có

            Suy ra

II-CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài tập 14: Cho phương trình: x²  - mx + 2m - 3 = 0

            a) Giải phương trình với m = - 5

            b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép

            c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

            d)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m

            e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài tập 15: Cho phương trình bậc hai(m - 2)x²  - 2(m + 2)x  + 2(m - 1) = 0

            a) Giải phương trình với m = 3

            b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2

            c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép

            d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

            e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

            f) Khi phương trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại

Bài tập 16:Cho phương trình:  x² - 2(m- 1)x + m²  - 3m  = 0

            a) Giải phương trình với m  = - 2

            b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2. Tìm nghiệm còn lại

            c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

            d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁ và x₂ thảo mãn: x₁² +  x₂²   = 8

            e) Tìm giá trị nhỏ nhất của A  =  x₁² +  x₂²  

Bài tập 17: Cho phương trình: mx² -   (m + 3)x  + 2m + 1 = 0

            a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép

            b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

            c) Tìm m để phương trình có  hiệu hai nghiệm bằng 2

            d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x₁và x₂ không phụ thuộc m

Bài tập 18: Cho phương trình: x² -  (2a- 1)x  - 4a - 3 = 0

            a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a

            b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a

            c) Tìm giá trị nhỏ nhật của biểu thức A = x₁² +  x₂²  

Bài tập 19: Cho phương trình: x² -  (2m- 6)x  + m  -13 = 0

            a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

            b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x₁. x₂  -  x₁² -  x₂²  

Bài tập 20: Cho phương trình: x² -  2(m+4)x  + m²  - 8 = 0

            a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

            b) Tìm m để A = x₁² +  x₂²  -  x₁ - x₂ đạt giá trị nhỏ nhất

            c)  Tìm m để B =  x₁  + x₂ -  3x₁x₂ đạt giá trị lớn nhất

            d) Tìm m  để C = x₁² +  x₂²  - x₁x₂

Bài tập 21: Cho phương trình: ( m - 1) x² + 2mx  + m  + 1 = 0

            a) Giải phương trình với m = 4

            b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

            c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁ và x₂ thoả mãn: A = x₁² x₂  + x₂²x₁

            d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài tập 22: Tìm giá trị của m để các nghiệm x₁, x₂ của phương trình

 mx² - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện

Bài tập 23:Cho phương trình x² - 2(m - 2)x + (m² + 2m - 3) = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ phân biệt thoả mãn  

Bài tập 24:Cho phương trình: mx² - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số).

a) Xác định m để các nghiệm x₁; x₂ của phương trình thoả mãn

x₁ + 4x₂  = 3

b) Tìm một hệ thức giữa x₁; x₂ mà không phụ thuộc vào m

Bài tập 25:  Cho phương trình x² - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0              (1)

Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x₁ = 2x₂.

Bài tập 26: Cho phương trình mx² - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm.

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?

c) Xác định m để các nghiệm  x₁; x₂ của phương trình thoả mãn: x₁ + 4x₂ = 3.

d) Tìm một hệ thức giữa x₁, x₂ mà không phụ thuộc vào m.

Bài tập 27:

            a) Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có ít nhật một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó?

x² - (m + 4)x + m + 5 = 0                                (1)

x² - (m + 2)x + m + 1 = 0                                (2)

b) Tìm giá trị của m để  nghiệm của phương trình (1) là nghiệm của phương trình (2) và ngược lại.

Bài tập 28:      Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình: x² - (2m - 1)x + m – 2 = 0

Tìm m để  có giá trị nhỏ nhất

Bài tập 29: Gọi x₁; x₂ là nghiệm của phương trình:

          2x² + 2(m + 1)x + m² + 4m + 3 = 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =½x₁x₂ - 2x₁ - 2x₂½

Bài tập 30:  Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình.

x² + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0

Tìm m để  có giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 31: Cho phương trình: x² - m + (m - 2)² = 0

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

A = x₁x₂ + 2x₁ + 2x₂

Bài tập 32: Cho phương trình: x² - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số). Tìm m sao cho 2 nghiệm x₁; x₂ của phương trình thoả mãn 10x₁x₂ + đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.

III-CÁC BÀI TẬP ĐÃ THI ( MỨC ĐỘ -YÊU CẦU- ĐÁP ÁN)

Câu I2. (2,0 điểm)

Cho phương trình (ẩn x): x²– ax – 2 = 0 (*)

1. Giải phương trình (*) với a = 1.

2. Chứng minh rằng phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a.

3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị của a để biểu thức:

N=  có giá trị nhỏ nhất.

( Tự Giải)

Câu 13. (4,0 điểm)

Cho phương trình x² – 3x + m – 1 = 0  (m là tham số)  (1).

a)      Giải phương trính (1) khi  m = 1.

b)      Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép.

c)      Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có  hai nghiệm x₁; x₂ là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích).

Giải Câu 13

a)      Khi m = 1, pt(1) trở thành: x² – 3x = 0

 x(x – 3) = 0

Vậy khi m = 1, phương trình (1) có hai nghiệm x₁ = 0; x₂ = 3.

b)      Phương trình (1) có nghiệm kép khi có = 0

(-3)² – 4. 1.(m – 1) = 13 – 4m = 0

 m =

            Vậy khi m =  thì phương trình (1) có nghiệm kép.

c)       

·         ĐK để pt(1) có hai nghiệm x₁, x₂ là  0  13 – 4m  0  m  .

·         Khi đó pt(1) có: x₁x₂ =  = m – 1 .

·         Theo đề bài, ta có: x₁x₂ = 2  m – 1 = 2  m = 3( thỏa ĐK)

·         Vậy khi m = 3 thì phương trình (1) có  hai nghiệm x₁; x₂ là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích).

Câu14 (2,0 điểm).

Cho phương trình:     (1)       (với ẩn là ).

            1)  Giải phương trình (1) khi =1.

2)  Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi .

3)  Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là ; . Tìm giá trị của  để ; là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng .

Giai cau 14 Khi m = 1 ta có phương trình x² – 4x + 2 = 0

Giải phương trình được ;

Tính  

Khẳng định phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Biện luận để phương trình có hai nghiệm dương

Theo giả thiết có x₁² + x­₂² = 12 (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = 12

  m² + m – 2 = 0

Giải phương trình được m = 1 ( thoả mãn), m = -2  (loại)

Câu 15 (3,0 điểm):

1. Cho phương trình          (1),   trong đó m là tham số.

a) Chứng minh với mọi m phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt:

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để .

2. Cho hàm số: y = mx + 1  (1),   trong đó m là tham số.

a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A (1;4). Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến trên R?

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) có phương trình:  x + y + 3 = 0

Gair câu 15 1 a)

Vì .

Vậy pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Áp dụng định lý Vi –ét

vậy m=

2

a)      Vì đồ thị của hàm số (1) đi qua A(1;4)  4= m.1+1

Với m = 3 hàm số (1) có dạng y = 3x +1; vì 3>0 nên hàm số (1) đồng biến trên R.

b)      (d) : y = - x – 3

Vì đồ thị của hàm số (1) song song với (d)

Vậy m = -1 thì đồ thị của hàm số (1) song song với (d)

Baøi 2: (2,0 ñieåm)

.

  a) Giaûi phöông trình ñaõ cho khi .

  b) Chöùng toû phöông trình ñaõ cho luoân coù hai nghieäm phaân bieät vôùi moïi giaù trò cuûa tham soá m.

  c) Tìm m ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x₁, x₂ thoõa maõn heä thöùc : .

∙ Baøi 2: a) * Khi m =5, phöông trình ñaõ cho trôû thaønh:

* Ta thaáy phöông trình (*) coù caùc heä soá thoõa maõn ab + c = 0 ; neân nghieäm cuûa phöông trình (*) laø:

*

b) Phöông trình ñaõ cho (baäc hai ñoái vôùi aån x) coù caùc heä soá: a = 1 ; b^/ = m + 1 vaø c = m4 ; neân:

 c) Theo caâu b, phöông trình ñaõ cho luoân coù hai nghieäm phaân bieät vôùi moïi giaù trò cuûa tham soá m. Theo heä thöùc Viet, ta coù:

.

Caên cöù (I), ta coù:  .

* .

2) 1,75đ	a) +Khi m = 4 phương trình (1) trở thành     + Tìm được hai nghiệm x1 = 1 ; x2 = 3	0,25 0,50
	b)Cách 1: + Chứng tỏ D ≥ 0 nên được P/t (1) có nghiệm với mọi m + Áp dụng hệ thức Viét :   + Biến đổi hệ thức  thành  (*) + Điều kiện của (*): m ≠ 1.Giải p/t (*) tìm được m = 0, m = 2012(tmđk) Cách 2: + Chứng tỏ a + b + c = 0 nên được P/t (1) có nghiệm với mọi m + Viết được x1 = 1; x2 = m – 1 + Biến đổi hệ thức  thành  (*) + Điều kiện của (*): m ≠ 1.Giải p/t (*) tìm được m = 0, m = 2012(tmđk)	0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1: Cho phương trình x² - 2(m-1)x + m² + 3m + 2 = 0

a, Tìm m dể phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

b, Tìm giá trị của m thoả mãn x₁² + x₂² = 12 ( x₁, x₂ là nghiệm của phương trình)

c, Tìm giá trị của m để tích 2 nghiệm đạt GTNN. Tìm giá trị đó.

( Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 1999- 2000)

Bài 2: Cho phương trình x² - 2mx + 2m -5 =0

a, Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b, Tìm m để phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu.

c, Gọi 2 nghiệm của phương trình là x₁, x₂, tìm giá trị của m để:

x₁²(1-x₂²) + x₂² (1-x₁²) = -8.                             ( Hải Dương năm 2000-2001)

Bài 3: Cho phương trình x² - 2(m+1)x+2m-15 = 0

a, Giải phương trình với m =0

b, Gọi 2 nghiệm của phương trình là x₁, x₂. Tìm giá trị của m thoả mãn 5x₁+x₂=4

( Hải Dương năm 2001-2002)

Bài 4: Cho phương trình (1)

a, Tìm m để (1) có 2 nghiệm phân biệt.

b, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ thoả mãn x₁² +x₂²+20=x₁²x₂².

(Hải Dương năm 2002-2003)

Bài 5: Cho phương trình x² - 6x + 1 = 0. Không giải phương trình, hãy tính

a, x₁² + x₂²                   b,                     c,

(Hải Dương năm 2002-2003)

Bài 6: Cho phương trình x² - (m+4)x+3m+3 = 0

a, Xác định m để phương trình có 1 nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại

b, Xác định m để phương trình có 2nghiệm thoả mãn x₁³ + x₂³

c, Lập hệ thức liên hệ giữa x₁, x₂ độc lập với m.

(Hải Dương năm 2003-2004)

Bài 7: Cho phương trình (m-1)x² + 2mx + m-2 = 0

a, Giải phương trình với m=1.

b, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 8: Cho phương trình x² - (2m+1)+m² + m - 1 =0

a, Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b, Chứng minh có một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm số không phụ thuộc m.

Bài 9: Cho phương trình x² + 2(m+3)x + m² + 3 =0

a, Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b, Tìm giá trị của m để phương trình có 1 nghiệm lớn hơn nghiệm kia là 2.

c, Lập hệ thức liên hệ giữa x₁, x₂ độc lập với m.

Bài 10: Lập phương trình biết nghiệm của chúng lần lượt là:

a, x₁ = 7; x₂ = 12;                    b, x₁ = -2, x₂ = 5                      c, x₁ = -3, x₃ = -4

BẾN TRE Câu 2. (4,0 điểm) Cho phương trình x² – 3x + m – 1 = 0  (m là tham số)  (1).

d)   Giải phương trính (1) khi  m = 1.

e)    Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép.

f)    Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có  hai nghiệm x₁; x₂ là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích).

HẢI DƯƠNGCâu 2 (2,0 điểm). Cho phương trình:     (1)       (với ẩn là ).

1)  Giải phương trình (1) khi =1.

2)  Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi .

3)  Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là ; . Tìm giá trị của  để ; là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng .

TỈNH NINH BÌNH Câu 2 (3,0 điểm):

1. Cho phương trình     (1),   trong đó m là tham số.

a) Chứng minh với mọi m phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt:

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để .

SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH

Câu 3 Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị các hàm số:

y = x² và y = - x + 2.

a)                  Xác định các giá trị của m để phương trình x² – x + 1 – m = 0 có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn đẳng thức: .

 BÌNH ĐỊNH Bài 2 (2,0 điểm) .

  a) Giaûi phöông trình ñaõ cho khi .

  b) Chöùng toû phöông trình ñaõ cho luoân coù hai nghieäm phaân bieät vôùi moïi giaù trò cuûa tham soá m.

  c) Tìm m ñeå phöông trình ñaõ cho coù nghieäm x₁, x₂ thoõa maõn heä thöùc : .

Lạng Sơn Tìm m để phương trinh x - 2 + m = 0 có hai nghiệm phân biệt.

QUẢNG NAM

1)        Cho phương trình bậc hai:

a)    Giải phương trình (1) khi m = 4.

b)   Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức : .

QUẢNG NGÃI        a)  x² – 20x + 96 = 0

Bài 5:(1.0 điểm) Cho phương trình ( ẩn x ): . Gọi x₁ và x₂  là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để biểu thức  có giá trị nhỏ nhất.  

THANH HÓA Bµi 3:  ( 2,5 ®iÓm ) Cho ph­¬ng tr×nh :  x² - ( 2n -1 )x + n (n - 1) = 0  ( 1 ) víi n lµ tham sè

1.    Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) víi n = 2

2.    CMR ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi n

3.    Gäi x₁, x₂ lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh  (1) ( v¬Ý x₁ < x₂)  Chøng minh : x₁² - 2x₂ + 3  0  .

b¾c giang: . Cho ph­¬ng tr×nh:  (1), víi m lµ tham sè. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ngg tr×nh (1) cã hai nghiÖm  tho¶ m·n .

QUẢNG TRỊ Câu 4 (1,0 điểm) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² + 3x -5 = 0. Tính giá trị của biểu thức .

KIÊN GIANG Phương trình:  có 2 nghiệm . Tính giá trị: X =

NINH THUẬN Giải phương trình:  3x² – 4x – 2 = 0.

NGHỆ AN Câu 2. (2,0 điểm)Cho phương trình bậc hai: x² – 2(m + 2)x + m² + 7 = 0  (1), (m là tham số)

a)    Giải phương trình (1) khi m = 1

b)   Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn: x₁x₂ – 2(x₁ + x₂) = 4

ĐÀ NẴNG Bài 3: (2,0 điểm) Cho phương trình x² – 2x – 2m² = 0 (m là tham số).

Giải phương trình khi m = 0

a)    Tìm m để phương trình có hai nghiệm x_1, x₂ khác 0 và thỏa điều kiện .

NAM ĐỊNH Cho phương trình . Biết phương trình (1) có hai nghiệm . Lập phương trình bậc hai ẩn y ( Với các hệ số là số nguyên ) có hai nghiệm lần lượt là

VĨNH PHÚC

Câu 6. (1.5 điểm) Cho phương trình x² – 2mx + m² – 1 =0 (x là ẩn, m là tham số).

a)    Giải phương trình với m = - 1

b)   Tìm tất cả các giá trị của m đê phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

c)    Tìm tât cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x­­₁ , x₂ sao cho tổng P = x₁²  + x₂² đạt

giá trị nhỏ nhất.

THÁI BÌNH Bài 3. ( 2,0 điểm)  Cho phương trình bậc hai: x² – 2mx +m – 7 = 0  (1) với m là tham số

1. Giải phương trình với m = -1

            2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai ngiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

            3. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x₁; x₂ thoả mãn hệ thức

HÒA BÌNH Câu 2 (2 điểm) Cho phương trình :  (1),  (m là tham số).

a)    Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ;

b)  Tìm giá trị của m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

QUẢNG NINH

Bài 2. (2,0 điểm) 1. Giải các phương trình sau:

 a)                                                             b)

2.Cho phương trình:  với x là ẩn số.

 a)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

 b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x₁ , x₂ , tính theo m giá trị của biểu thức 

     E =

BẮC GIANG

Cho phương trình:  (1), với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phươngg trình (1) có hai nghiệm  thoả mãn .

THÁI NGUYÊN

Không dùng máy tính cầm tay,hãy giải phương trình :  29x² -6x -11 = o

BẾN TRE

a)    Giải phương trình:  x² – 6x + 8  = 0.

Câu 2. (4,0 điểm) Cho phương trình

x² – 3x + m – 1 = 0  (m là tham số)  (1).

a)        Giải phương trính (1) khi  m = 1.

b)        Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép.

c)    Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có  hai nghiệm x₁; x₂ là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích).

QUẢNG NINH Bài 2. (2,0 điểm)

1. Giải các phương trình sau:

 a)         b)

2.Cho phương trình:  với x là ẩn số.

 a)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

 b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x₁ , x₂ , tính theo m giá trị của biểu thức E =

BẮC GIANG

Cho phương trình:  (1), với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm  thoả mãn .

THÁI NGUYÊN Không dùng máy tính cầm tay,hãy giải phương trình :  29x² -6x -11 = o

BẾN TRE

d)   Giải phương trình:  x² – 6x + 8  = 0.

Câu 2. (4,0 điểm) Cho phương trình x² – 3x + m – 1 = 0  (m là tham số)  (1).

a)    Giải phương trính (1) khi  m = 1.

b)   Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép.

c)                  Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có  hai nghiệm x₁; x₂ là độ dài các cạnh của một hình chữ nhật có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích).

TUYÊN QUANG

Giải phương trình:   

TÂY NINH

Câu 4: (3,0 điểm)        Cho phương trình :   (là tham số).

a) Giải phương trình  khi .

b) Chứng tỏ rằng, với mọi giá trị của  phương trình  luôn có hai nghiệm phân biệt.

c) Gọi  là hai nghiệm của phương trình (1). Chứng minh rằng biểu thức  không phụ thuộc vào .