Ôn thi tuyên sinh 10 chuyên đề căn bậc hai

Chuyên đề: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỤ

1, KIẾN THỨC 6, 7, 8 QUAN TRỌNG CẦN NHỚ.

a, Tính chất về phân số (phân thức):       

  b, Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

            +)      (A + B)² = A² + 2AB + B²

            +)      (A - B)² = A² - 2AB + B²

            +)      A² - B² = (A - B)(A + B)

            +)      (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

            +)      (A - B)³ = A³ - 3A²B + 3AB² - B³

            +)      A³ + B³ =(A + B)(A² - AB + B²)

+)      A³ - B³ =(A - B)(A² + AB + B²)

2, CÁC KIẾN THỨC VỀ CĂN BẬC HAI

                     1) Nếu a ≥ 0, x ≥  0,  = x  Û x² = a

                  2)Để  có nghĩa thì A ≥ 0

3)

4)  ( với A  0 và B  0 )

5)  ( với A  0 và B > 0 )

6)  (với B  0 )

7)  ( với A  0 và B  0 )

      ( với A < 0 và B  0 )

9)  ( với AB  0 và B  0 )

10)  ( với B > 0 )

11)  ( Với A  0 và A  B² )

12)  ( với A  0, B  0 và A  B )

II. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN:

1. RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC KHÔNG CHỨA BIẾN

1.1/Rút gọn nhờ sử dụng hằng đẳng thức

*)Ví dụ 1: Rút gọn:   

                       a)  ;                               b)         

                       c)                         d)

Giải:

a)

b)

c)

d)

*)Ví dụ 2: Rút gọn :

a) A=                                  b) B = ;

c) C =  +         d) D =

Giải:

a)      A =

      b)   B = = =

               =

      c)  C =  +   =       

             =  2-   + 2 +  = 4

d)  D =      

              

               =

*)Ví dụ 3: Rút gọn    A =                         

Giải:

Cách1: A =      

                    

Suy ra A =

Cách 2: Ta có: A² = 

Do A > 0 nên A =

*)Bài tập:

Bài 1:  Tính:

Bài 2:  Tính:

Bài 3: Rút gọn   A =

Bài 4: Rút gọn   A =

1.2/ Rút gọn vận dụng các quy tắc khai phương, nhân chia các căn bậc hai:

*)Ví dụ 1:Tính

a)                  b)                   c)

Giải:    

a)   =         

b)

c)

*)Ví dụ 2: Rút gọn:

Giải:    

   

  *) Bài tập:

Bài 1: Tính: a)          b)       c)     

                    e)

Bài 2: Rút gọn:

      a)                                        b)

      c)                                  d)

   e)                                      f)

1.3/ Rút gọn  biểu thức chứa căn thức bậc hai ở mẫu vận dụng trục căn  thức ở mẫu bằng phương pháp nhân liên hợp.

*)Ví dụ 1: Trục căn ở mẫu các biểu thức sau

   a)              b)           c)           d)     

Giải:    

 d)    = 

   =

*)Ví dụ 2: Trục căn ở mẫu:  a) 

Giải:    

a)

b)      

*)Ví dụ 3: Rút gọn:

                          A =

*)Bài tâp: Rút gọn các biểu thức sau:

a)            b)           c)

d)

1.4/ Rút gọn  biểu thức chứa căn thức bậc hai ở mẫu nhờ phân tích thành nhân tử:

  *) Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức:

             a)                                            b)

             c)             d)

Giải:    

a)

b)

c)

                                          

d)

*)Bài tâp: Rút gọn các biểu thức sau:

         a)                                                    b)         

        c)                              d)

2. RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA BIẾN VÀ CÁC BÀI TOÁN PHU

2.1/CÁC BƯỚC THỰC HIÊN PHẦN RÚT GỌN:

Bước: Tìm ĐKXĐ của biểu thức (Nếu bài toán chưa cho)(Phân tích mẫu thành nhân tử, tìm điều kiện để căn có nghĩa, các nhân tử ở mẫu khác 0 và phần chia khác 0)

Bước ‚:Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu được).

Bước ƒ:Quy đồng, gồm các bước:

+ Chọn mẫu chung : là tích củc nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.

+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng.

+ Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung.

Bước „: Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.

Bước …: Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.

Bước †: Phân tích tử thành nhân tử (mẫu giữ nguyên).

Bước ‡:Rút gọn.

Lưu ý: Bài toán rút gọn tổng hợp thường có các bài toán phụ: tính giá trị biểu thức khi cho giá trị của ẩn; tìm điều kiện của biến để biểu thức lớn hơn (nhỏ hơn) một số nào đó; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức...Do vậy ta phải áp dụng các phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho từng loại toán.

2.2/ CÁC VÍ DỤ VỀ BÀI TẬP RÚT GỌN TỔNG HỢP:

*)Ví dụ 1:   Cho biểu thức:

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A

Bài giải: ĐKXĐ:  

Ta có:

             

                                                                  

         Vậy A =

b) Tìm a để A = 5 (Dạng bài toán phụ thứ nhất).

Phương pháp: Thay A bởi biểu thức vừa rút gọn được vào và giải phương trình:

            

                               (TMĐK)

       Vậy với  a =  thì A = 5.

c) Tính giá trị của A khi a = 3 + 2 (Dạng bài toán phụ thứ hai).

Phương pháp: Thay giá trị của biến vào biểu thức vừa rút gọn được rồi thực hiện các phép tính (Lưu ý: Có thể tính giá trị  rồi thay vào).

  Ta có:

        Suy ra . Do đó thay vào biểu thức A ta được:

              A =  

d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên (Dạng bài toán phụ thứ ba).

Phương pháp: Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu là ước của phần dư (một số), chú ý điều kiện xác định.

   Ta có: A =  = 1 +

Để A nguyên thì  nguyên, suy ra  là ước của 2

          (TMĐK).

Vậy a = 0; 4; 9 thì A có giá trị nguyên.

e) Tìm a để A < 1 (Dạng bài toán phụ thứ tư).

Phương pháp: Chuyển vế và thu gọn đưa về dạng < 0 (hoặc > 0) trong đó dựa vào điều kiện ban đầu ta đã biết được M hoặc N dương hay âm, từ đó dễ dàng tìm được điều kiện của biến.

 < 1  - 1 < 0  < 0 < 0  < 0 a <1. Kết hợp điều kiện ban đầu, suy ra 0  a < 1.

*)Ví dụ 2:  Cho biểu thức    

a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

Bài giải: a) ĐKXĐ   x > 0; x1. Rút gọn 

 

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của A (Dạng bài toán phụ thứ năm).

Phương pháp: Dựa vào điều kiện ban đầu và các bất đẳng thức.

 Ta có A=  (BĐT Côsi cho hai số dương)

(TMĐK)

Vậy A_min = 2.

*)Ví dụ 3:    Cho biểu thức

       a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A.

       b)Tìm giá trị của x để

Bài giải: a) ĐKXĐ  x > 0; x .

=

b)

 (vì x > 1).  Vậy x > 9 thì .

*)Ví dụ 4: Cho biểu thức

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A

b) Với giá trị nào của x thì

Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x . 

b)  (vì )

. Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì .

*)Ví dụ 5:

Cho biểu thức:

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P

b) Tìm x để  P.

Bài giải:

a) ĐKXĐ: x > 0; x :

 

b)  

   (TMĐK)

Vậy x = 2005 thì   P.

2.3/ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:

Bài 1: Cho biểu thức   

    a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A

    b) Với giá trị nào của x thì A >

    c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất.

Bài 2. Cho biểu thức

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P                  

b) Tìm các giá trị của x để P =

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  M

Bài 3. Cho biểu thức:

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức

b) Tìm x để D  < -

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D

Bài 4.   Cho biểu thức:

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

b) Tìm a  để P <0

Bài 5. Cho biểu thức

a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B.

b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên.

Bài 6.    Cho biểu thức

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

c) Tìm x để biểu thức  nhận giá trị nguyên.

Bài 7. Cho biểu thức:

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P    b) Tìm x để P > 0

Bài 8.   Cho biểu thức

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P

b) Tìm giá trị của a để P > 0

Bài 9.  (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012)

Cho , với x ³ 0 và x ¹ 25.

            1) Rút gọn biểu thức A.          2) Tìm giá trị của A khi x = 9.             3) Tìm x để A < .

Bài 10.  Cho biểu thức:

a)  Tìm ĐKXĐ, rút gọn P.  b) Tìm x để P <.

Bài 11. Cho biểu thức

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A

b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0

Bài 12. Cho biểu thức:  với a > 0 và a1.

              a) Rút gọn biểu thức P.

              b) Với những giá trị nào của a thì P > .

Bài 13.  Cho biểu thức :   A =  với ( x > 0 và x ≠ 1)

1) Rút gọn biểu thức A.

2) Tính giá trị của biểu thức khi

Bài 14.  Cho biểu thức    P =

a) Rút gọn P

b) Tính GT của P khi x= 4

c) Tìm GT của x để P =

 (Đề thi Hà Nội năm 2008-2009)

Bài 15. Cho biểu thức : A =

  1) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A

  2) Với giá trị nào của x thì A < -1

Bài 16.  Cho biểu thức :   A   =        (Với )

  a) Rút gọn A

  b) Tìm x để A = - 1

Bài 17. Cho biểu thức :   B  =  

  a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức B.

  b) Tính giá trị của B với  x = 3

  c)  Tính giá trị của x để

Bài 18. Cho biểu thức :      P =

  a)  Tìm TXĐ rồi rút gọn P

  b)  Tìm x để P = 2

Bài 19. Cho biểu thức :   Q = (

  a) Tìm TXĐ rồi rút gọn  Q.

  b)  Tìm a để Q dương.

  c)  Tính giá trị của biểu thức khi a = 9 - 4

Bài 20.  Cho biểu thức : M =  

  a)  Tìm TXĐ rồi rút gọn  M

  b) Tìm giá trị của a để M = - 4.

Bài 21: Cho biểu thức 

a)      Tìm ĐKXĐ của M và rút gọn M

b)      Tìm xÎZ để M có giá trị nguyên

c)      Tìm x để M+  =0

Bài 22: a) Tính A= 

                             B= 

b)Tính giá trị biểu thức C=  với  

Bài 23: Chøng minh: .

Bài 24:Cho biÓu thøc: .

1.  Rót gän biÓu thøc T.

2.  Chøng minh r»ng víi mäi  x > 0 vµ  x≠1  lu«n cã T<1/3.

Bài 25Cho biÓu thøc:

.

1. Rót gän biÓu thøc A.

2. T×m a ≥0 vµ a≠1 tho¶ m·n ®¼ng thøc: A= -a²